Ensembles et cardinaux Exercice 1 On considère deux parties $A\text{ et }B$ d'un ensemble fini $E.$ Compléter les tableaux suivants a $\begin{array}{ccccc}\hline E&A&B&A\cap B&A\cup B \\ \hline 18&8&6&2& \\ \hline \end{array}\qquad\begin{array}{cccc}\hline& & & \\ \overline{A}&\overline{B}&\overline{A\cap B}&\overline{A\cup B} \\ \hline & & & \\ \hline \end{array}$ b $\begin{array}{ccccc}\hline E&A&B&A\cap B&A\cup B \\ \hline 100&75& & & \\ \hline \end{array}\qquad\begin{array}{cccc}\hline& & & \\ \overline{A}&\overline{B}&\overline{A\cap B}&\overline{A\cup B} \\ \hline &50&75& \\ \hline \end{array}$ c $\begin{array}{ccccc}\hline E&A&B&A\cap B&A\cup B \\ \hline 53& &34& & \\ \hline \end{array}\qquad\begin{array}{cccc}\hline& & & \\ \overline{A}&\overline{B}&\overline{A\cap B}&\overline{A\cup B} \\ \hline 23& & &8 \\ \hline \end{array}$ Exercice 2 On donne le diagramme ci-dessous Donner la liste des éléments de chacun des ensembles suivants $A\;;\ B\;;\ A\cap B\;;\ A\cup B\;;\ A/B\;;\ B/A\;;\ E$ $E/A\cup B\;;\ EA\cap B$ Exercice 3 On désigne par $E$ l'ensemble des nombres entiers naturels plus petits que 16, par $I$ l'ensemble des nombres impairs de $E$ , par $P$ l'ensemble des nombres pairs de $E$ et par $M_{3}$ l'ensemble des nombres de $E$ multiples de 3. Représenter les ensembles $E\;,\ I\;,\ P\;,\ M_{3}$ par un même diagramme ; y faire figurer tous les éléments de $E.$ Exercice 4 Deux ensembles $A\text{ et }B$ sont tels que $\text{card}\;A=24\;;\text{ card}A\cup B=46$ $\text{card}A\cap B=8.$ Calculer $\text{card}\;B.$ Exercice 5 Deux ensembles $A\text{ et }B$ sont tels que $\text{card}\;A=1521\;;\text{ card}\;B=798$ $\text{card}A\cup B=2319$ Calculer $\text{card}A\cap B\text{ et }\text{card}\;B/A$ Exercice 6 Dans un groupe de 20 camarades, 12 jouent au football et 11 jouent au basket. 4 jouent à la fois au football et au basket. Dénombrer les élèves qui a jouent seulement au football. b ne jouent ni au football ni au basket. Exercice 7 Une station de radio diffuse les mêmes publicités à 15 heures et à 16 heures. D'après un sondage, on sait qu'il y a 21400 auditeurs à 15 heures et 24800 à 16 heures. Combien de personnes ont entendu ces publicités a si l'on suppose que les personnes qui ont écouté la radio à 15 heures ne l'écoutent plus à 16 heures ? b si l'on suppose que 4600 auditeurs écoutent à 15 heures et à 16 heures. Exercice 8 On considère un jeu classique de 32 cartes. On rappelle que celles-ci peuvent être de 4 couleurs cœur, pique, trèfle, carreau comportant chacune 8 valeurs $7\;,\ 8\;,\ 9\;,\ 10$, Valet, Dame, Roi, 1 ou as. Soit $A$ l'ensemble des piques du jeu, $B$ l'ensemble des cartes rouges et $C$ l'ensemble des figures. 1 Déterminer les cardinaux de $A\;;\ B\;;\ A\cap B\;;\ A\cap C ;\;B\cap C\;;\ A\cup B\;;\ A\cup C\text{ et }B\cup C.$ 2 Déterminer le cardinal de l'ensemble $H$ des cartes qui ne sont ni pique ni figure. Exercice 9 Parmi 40 secrétaires 8 parlent le russe, 15 l'anglais et 8 l'espagnol. 5 parlent le russe et l'anglais. 2 parlent le russe et l'espagnol. 2 parlent les trois langues. 1 Combien de secrétaires parlent au moins une des trois langues ? 2 Combien de secrétaires ne connaissent aucune de ces trois langues ? $On\ pourra\ s'aider\ d'un\ diagramme.$ Exercice 10 18 personnes étaient présentes lors d'un accrochage entre un car rapide et un taxi. La police les a toutes retrouvées. Elle leur a demandé de répondre soit par oui, soit par non, à chacune des questions suivantes Le car rapide roulait-il à gauche ? » Avez-vous vu le chauffeur du car rapide s'enfuir ? » 10 personnes ont répondu oui à la première question. 6 personnes ont répondu non à la deuxième question. 5 personnes ont répondu non aux deux questions. Combien de personnes ont répondu oui aux deux questions ? Exercice 11 Un certain produit se vend en liquide ou en poudre. Un sondage fait ressortir les faits suivants le tiers des personnes interrogées utilisent pas la poudre ;les deux septièmes des personnes interrogées n'utilisent pas le liquide ;427 personnes utilisent le liquide et la poudre ;le cinquième des personnes interrogées n'utilisent pas du tout le produit ; Combien de personnes ont été interrogées au cours de ce sondage ? Principes additif et multiplicatif Exercice 12 La figure ci-dessous représente quatre villes $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ ainsi que les routes les reliant 1 De combien de façons peut-on aller de $A\text{ à }D$ en passant par $B\text{ et }C$ ? 2 Combien de circuits $ABCDCBA$ y a-t-il ? 3 Combien de circuits $ABCDCBA$ n'empruntent jamais deux fois la même route entre deux villes ? Exercice 13 Sur la figure ci-dessous, combien y a-t-il de façons d'aller de $A\text{ vers }C$ en passant par chaque point au plus une fois ? Exercice 14 Combien de mots de 4 lettres peut-on former avec un alphabet de 26 lettres 1 en admettant une répétition des lettres ? 2 sans lettre double » ? Exercice 15 Combien peut-on former de codes comportant 3 lettres distinctes suivies de deux chiffres distincts ? Exemple BAC 06 Exercice 16 On dispose de 5 couleurs pour colorier un drapeau constitué de 6 bandes verticales, deux bandes voisines ne pouvant recevoir la même couleur. Dénombrer les coloriages possibles. Exercice 17 De combien de façons peut-on placer 3 pions numérotés $1\;,\ 2\text{ et }3$ sur un damier carré comportant 6 lignes et 6 colonnes, sachant qu'il y a au plus un jeton sur chaque ligne et sur chaque colonne ? Exercice 18 Un coffre-fort accepte comme combinaison toute suite de trois lettres et de quatre chiffres compris entre 0 et 9. Sachant qu'il faut 10 secondes pour essayer une combinaison, combien faut-il de temps pour les essayer toutes ? Exercice 19 Un homme d'affaires doit se rendre dans quatre villes $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D.$ Combien de voyages différents peut-il réaliser sachant que a il peut commencer et finir par la ville qu'il veut ? b il doit commencer par $D.$ c il doit commencer par $D$ et finir par $A$ ? Exercice 20 Un élève répond à un questionnaire à choix multiples dans lequel il y a quatre réponses proposées par question désignées par $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D.$ 1 Combien y a-t-il de manières différentes de répondre si le comporte 10 questions ? 2 Par jeu,il décide de répondre $A$ à toutes les questions paires ; combien y a-t-il de réponses possibles pour cet élève en respectant ce critère ? Exercice 21 Un fabriquant de chaussures réalise trois modèles différents. De plus, il peut faire chacun d'eux en trois couleurs et en quatre tailles différentes. Combien de paires de chaussures distinctes peut-t-il proposer à sa clientèle ? P-Listes, arrangements et permutations Exercice 22 Dans une salle de classe, il y a 30 places. De combien de façons différentes 26 élèves peuvent-ils s'installer pour un cours ? Donner, avec deux chiffres significatifs, une valeur approchée du nombre trouvé. Exercice 23 Combien peut-on écrire de mots de six lettres distinctes avec les lettres du mot NOMBRE ? Exercice 24 On appelle mot une suite de trois points et de cinq traits. Par exemple . - . . - Combien de tels mots peut-on écrire ? Exercice 25 Une course comporte seize chevaux. 1 Combien peut-on jouer de tiercés possibles ? 2 On joue le cheval $n^{\circ}10$ à l'une des trois places. Combien peut-on jouer de tiercés où figure ce cheval ? Exercice 26 On donne un système de trois inéquations du premier degré à deux inconnues en faisant suivre $ax+by+c\;,\ a'x+b'y+c\;,\ a''x+b''y+c''$ de l'un des signes $0\;,\ \leq 0\;,\ \geq 0.$ Combien peut-on former de tels systèmes ? Exercice 27 1 Sans répétition, combien de nombres de trois chiffres peut-on former à l'aide des 6 chiffres $2\;,\ 3\;,\ 5\;,\ 6\;,\ 7\;,\ 9$ ? 2 Combien de ces nombres sont a pairs ? b inférieurs à 500 ? c impairs ? d multiples de 5 ? Exercice 28 Combien y a-t-il de mots de 5 lettres prises parmi ${A\;,\ B\;,\ C\;;\cdots.\;,\ X\;,\ Y\;, \ Z}$ qui finissent par une voyelle ? par deux voyelles distinctes ? Exercice 29 1 Combien de nombres inférieurs à 2000 peut-on fabriquer avec les chiffres $1\;,\ 2\;,\ 4\text{ et }7$ a si aucun chiffre ne peut être répété ? b si les répétitions sont autorisées ? 2 Combien de ces nombres sont pairs ? impairs ? Exercice 30 Soit $A$ l'ensemble des 9 chiffres autres que 0 et $p$ un entier naturel non nul. 1 Combien peut-on former de nombres de $p$ chiffres pris dans $A$ ? 2 Parmi les nombres ainsi formés, combien y en a-t-il qui a finissent par 2 ? b sont pairs ? c contiennent un seul chiffre 2 ? d contiennent au moins un chiffre 2 ? e contiennent des chiffres tous distincts ? $\text{Pour e }on\ discutera\ suivant\ les\ valeurs\ de\ p.$ Exercice 31 On jette trois dés $A\;,\ B\;,\ C$ ayant chacun six faces. Les faces de chaque dé sont numérotées de 1 à 6. Dénombrer tous les résultats a possibles b où les trois faces sont identiques c où les trois faces sont différentes deux à deux d ne comportant aucun chiffre 1 e comportant au moins un chiffre 1 f comportant exactement un chiffre 1 g comportant exactement deux chiffres 1. h Indiquer les liens entre les questions d, e, f, g et une autre question concernant le chiffre 1 qui n'a pas été posée. Exercice 32 Tirages avec ou sans remise Une urne contient 5 boules vertes, 6 boules jaunes et 7 boules rouges. 1 On tire successivement avec remise 3 boules. Dénombrer les résultats a possibles b tricolores c unicolores d contenant 2 jaunes suivies d'une rouge e contenant 2 jaunes et une rouge. 2 Reprendre les questions précédentes dans le cas de tirages successifs sans remise. Exercice 33 Huit coureurs, 3 Sénégalais et 5 étrangers participent à une course et sont classés de 1 à 8. 1 Quel est le nombre d'arrivées possibles ? 2 Quel est le nombre d'arrivées lorsque la course est gagnée par un Sénégalais ? 3 Quel est le nombre de possibilités pour qu'il y ait un Sénégalais et un seul parmi les trois premiers coureurs ? Exercice 34 Les numéros d'un réseau téléphonique sont tous formés de 7 chiffres choisis parmi les chiffres $0\;,\ 1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6\;,\ 7\;,\ 8\;,\ 9.$ Exemples de numéros théoriquement acceptés 000 00 00 ; 961 52 87 ; 022 23 33 ; etc... Calculer le cardinal des ensembles suivants $\Omega$ la capacité théorique du réseau. $A$ ensemble des numéros composés de 7 chiffres distincts. $B$ ensemble des numéros composés de 7 chiffres identiques. $C$ ensemble des numéros ne contenant aucun chiffre 0. $D$ ensemble des numéros contenant exactement un 0. $E$ ensemble des numéros contenant au moins un 0. $F$ ensemble des numéros contenant au plus un 0. $G$ ensemble des numéros contenant au moins deux 0. $H$ ensemble des numéros pairs, chaque numéro étant strictement inférieur à 7000000. $I$ ensemble des numéros commençant par un chiffre pair et finissant par un chiffre impair strictement inférieur à 7. Exercice 35 On lance trois fois de suite un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Les résultats sont alors les triplets $a\;,\ b\;,\ c\;,\text{ où }a\;,\ b\text{ et }c$ sont des entiers de 1 à 6. 1 Dénombrer tous les résultats possibles. 2 Dénombrer les triplets $a\;,\ b\;,\ c$ tels que $\text{a }a=b=c\;;\qquad \text{b }a\neq b\text{ et }a\neq c$ $\text{c }a\leq b\text{ et }b=c\;;\qquad \text{d }a100 C_{n}^{p}.$ 2 Montrer que, quel que soit le réel $x$, il existe des entiers $n\text{ et }p$ tels que $A_{n}^{p}>x C_{n}^{p}$

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